Ecuaciones exponencialesylogaritmicas

Función exponencial y ecuaciones logarítmicas

Propiedades de los logaritmo comunes: Para a > 1.

1) log_a 1 = 0

2) log_a a = 1

3) log_a (u v) = log_a u + log_a v

4) log_a (uⁿ) = n log_a u

5) log_a M = log_a N,  entonces M = N

 

Ejemplos para discusión:

1) Halla el valor de x si log₂ x - log₂ (x - 8) = 3.

2) Resuelve para x la ecuación:  log₈ 3 + ½ log₈ 25 = log₈ x .

Ejercicio de práctica: Resuelve log₄ (x + 1) - log₄ (3x - 2) = 2.

 

Función exponencial natural:

La letra a que aparece en la función exponencial se llama la base. La base puede ser cualquier número real positivo (ver definición de función exponencial). Sin embargo, hay casos donde se usa como base un número irracional denotado por e = 2.71828...

La función exponencial f(x) = e^x se conoce como la función exponencial natural.  :f(x) = e^x

 Logaritmo natural:

También podemos formar logaritmos con base e. Estos se llaman logaritmos naturales. Se representan por el símbolo ln. De manera, que si y = e^x, entonces x = log_e y = ln.

El logaritmo natural tiene todas las propiedades para logaritmos con base general a. En particular:

1) ln (u v) = ln (u) + ln (v)

3) ln uⁿ = n ln u

4) ln e = 1

5) ln 1 = 0

Ejercicios:

Escribe cada ecuación exponencial a la forma logarítmica y viceversa:

1) 2³ = 8

2) log₁₀ 0.01 = -2

3) ln 2 = 0.6931...

4) ln 0.5 = -0.6931...

Halla el valor de x:

7) log₁₀ 1000 = x

8) log₃ x = -110) log_x 27 = 3

9) log₃ x + log₃ (x - 2) = 1

10) x - 3 = log₂ 32

11) x² - x = log₅ 25

Dibuja la gráfica de :

12) f(x) = 3^x

13) y = 3^-x

Funciones exponenciales

  Repaso de funciones exponenciales

Las funciones lineales, cuadráticas, polinómicas y racionales se conocen como funciones algebraicas. Las funciones algebraicas son funciones que se pueden expresar en términos de operaciones algebraicas. Si una función no es algebraica se llama una función transcendental. Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son funciones transcendentales.

Definición: Una función exponencial es una función de la forma y = a^x, donde a>0 y a es diferente de uno.

F(x) = 2x	F(x) = (½)x = (2 -1)x = 2 -x

 Nota: Cuando (la base) a > 1 entonces la función exponencial es una función creciente, como lo es f(x) = 2^x. Mientras que cuando a < 1, la función exponencial es una función decreciente, como lo es f(x) = 2^-x.

Algunas características de las funciones exponenciales crecientes:

1) El dominio es el conjunto de los números reales.

2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos.

4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).

5) Son funciones continuas.

Algunas características de las funciones exponenciales decrecientes:

1) El dominio es el conjunto de los números reales.

2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos.

4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).

http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/repasofunexpyloga.htm